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Ray tracing in one weekend折射公式

windria — Sun, 15 Sep 2024 00:00:00 +0000

本文是对Ray Tracing in One Weekend中折射</a>一节公式的推导</p>

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图中已知的变量已经用蓝色标出，分别是$\eta、\eta^{\prime}$，还有一个向量$R$已知，标为了绿色</p>

图中一些向量为了方便观看用不同颜色标记了，其中$R_{\bot}^{\prime}$和$R_{\parallel}^{\prime}$是$R^{^{\prime}}$的分量，分别和法线$n$单位向量垂直和平行，$R$是入射光线与$R^{\prime}$出射光线两个向量都是单位向量，长度是1</p>

首先要算出来的是$cos\theta$的值，因为$R$和$n$是单位向量，所以很容易得出</p>

$$ \cos\theta = -R \cdot n$$</p>

之后能看出$R$在y轴上的投影的长度为$R$的长度乘上$\cos\theta$，而$R$的长度和$n$的长度其实是一样的，所以也等于$n$的长度乘上$\cos\theta$，可以得出$R$在x轴上的分量为$R + n \cdot \cos\theta$，而这个分量的长度也容易通过图像得知是$\sin\theta$，所以x轴正方向的单位向量可以算出来是</p>

$$\frac{R + n \cdot \cos\theta}{\sin\theta}$$</p>

观察图像其实可以因为$R^{^{\prime}}$长度是1知道$R_{\bot}^{^{\prime}}$的长度是$\sin\theta^{^{\prime}}$</p>

由于斯涅尔折射定律</p>

$$ \sin\theta^{\prime} = \frac{\eta}{\eta^{\prime}} \cdot \sin\theta $$</p>

可以得出</p>

$$ R_{\bot}^{^{\prime}} = \sin\theta^{\prime} \cdot \frac{R + n \cdot \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\eta}{\eta^{\prime}} \cdot (R + n \cdot \cos\theta) = \frac{\eta}{\eta^{\prime}} \cdot (R + (-R \cdot n)n)$$</p>

因为$R_{\parallel}^{\prime}$和$R_{\bot}^{\prime}$是垂直的，并且是同一个单位向量的分量，可以得出$R_{\parallel}^{\prime}$的长度为$ \sqrt{1 - |\mathbf{R^{\prime}}_{\bot}|^2}$，而$R_{\parallel}^{\prime}$的方向和$n$相反，所以</p>

$$R_{\parallel}^{\prime} = -\sqrt{1 - |\mathbf{R}^{\prime}_{\bot}|^2} \cdot n$$</p>

$R_{\parallel}^{\prime}$和$R_{\bot}^{\prime}$加起来就得到$R^{\prime}$了</p>